行列式本质上是要通过一个数字反应矩阵的某些信息，目前看来不是很重要，快速过一遍。 ## 性质 引入是通过3个基本性质：
- \(det(I)=1\)
- 交换两行，行列式的值变号：置换矩阵\(det(P)=\begin{cases} 1& \text{交换偶数次}\\ -1& \text{交换奇数次}\\ \end{cases}\)
- \(\left|\begin{array}{cccc} ta & tb\\ c & d\\ \end{array}\right|=t\left|\begin{array}{cccc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cccc} a+a' & b+b'\\ c & d\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} a' & b'\\ c & d\\ \end{array}\right|\)
由3个基本性质可以推出若干：
- 若两行相等，则\(det(A)=0\)
交换相等的2行，矩阵不变，行列式的值不变，根据性质2：\(det(A)=-det(A)\)，得证。 - 初等行变换不改变行列式的值 \[ \left|\begin{array}{cccc} a & b\\ c-la & d-lb\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} a & b\\ -la & -lb\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right| \]
- 有一行全为0，行列式为0
- 上三角矩阵的行列式等于主对角线元素之积：\(det(U)=d_1d_2...d_n\)
对于任意矩阵，通过初等行变换可以得到\(U\)，接着向上消元并提出对角线的因子，可以得到\(I\)。
这也是Matlab求行列式的方法。 - \(det(A)=0\Leftrightarrow
A是奇异矩阵(消元后有全0行)\)
\(det(A)\neq0\Leftrightarrow A可逆\Rightarrow U\Rightarrow d_1d_2...d_n\neq0\) - \(det(AB)=det(A)*det(B) \Rightarrow det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\)
- \(det(A^T)=det(A)\)，可以通过LU分解去证，这也意味着对行成立的性质对列也成立。
计算方法
上一节中介绍了消元化上三角求行列式的方法，本节介绍2种不常用的方法，所有计算都可以通过上一节的3个基本性质获得：
对于二阶，拆解后有2个非零项： \[
\left|\begin{array}{cccc}
a & b\\
c & d\\
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a & 0\\
c & d\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
0 & b\\
c & d\\
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a & 0\\
c & 0\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
a & 0\\
0 & d\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
0 & b\\
0 & d\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
0 & b\\
c & 0\\
\end{array}\right|=ad-bc
\] 对于三阶，拆解后有6个非零项： \[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & & \\
& a_{22} & \\
& & a_{33}\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & & \\
& & a_{23}\\
& a_{32}& \\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
&a_{12} & \\
a_{21}& & \\
& &a_{33}\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
&a_{12} & \\
& &a_{23} \\
a_{31}& &\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
& &a_{13} \\
a_{21}& & \\
&a_{32} &\\
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}
& &a_{13} \\
&a_{22} & \\
a_{31}& &\\
\end{array}\right|
\] 接着可以通过交换行得到对角阵并求得结果。
如果我们观察每一项：从第一行到最后一行，列下标是\((1,2,3)\)的某个全排列，因此可以知道展开以后非零项一共有\(n!\)项(第一行有\(n\)种选择，第二行有\(n-1\)种选择...)，于是可以得到第二种计算行列式的方法：
\[
det(A)=\Sigma_{n!项}\pm
a_{1x}a_{1y}...a_{1w},(x,y,...w)是(1,n)的某个全排列
\] 正负号取决于交换了几次得到\((1,2,3...)\)这种朴素的排列。
举例来看： \[
\left|\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right|
\] 可以先取\((1,3)\)位置，接着只能取\((2,2)\)，接着\((3,1)\)，最后\((4,4)\)，所以列的排列是\((3,2,1,4)\)，交换一次可得\((1,2,3,4)\)，故有一非零项-1；
还可以先取\((1,4)\)，接着\((2,3)\)，\((3,2)\)，最后\((4,1)\)，列的排列是\((4,3,2,1)\)，交换2次可得\((1,2,3,4)\)，故有一非零项1，除此以外，没有别的选择，所以行列式的值是0。
如果我们对上述拆解三阶行列式的结果提取公因子： \[
det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
\] 我们穷举了第一行的3种可能的选择\(a_{11},a_{12},a_{13}\)，对于每种选择，当前行与当前列都不能再用，括号中的式子叫做代数余子式\(C_{ij}\)：去掉\(a_{ij}\)所在行列的\(n-1\)阶行列式，并且正负号取决于\(i+j\)的奇(-)偶(+)。
这样我们得到了求行列式的第三种方法： \[
det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n}
\] 举例来看，对于三对角行列式： \[
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{array}\right|
\] 容易知：\(det(A_1)=1,det(A_2)=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1\\
1 & 1\\
\end{array}\right|=0,det(A_3)=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1\\
\end{array}\right|=-1\)。
对于四阶，我们按第一列展开：\(det(A_4)=1*det(A_3)-1*det(A_2)=-1\)，此式可以推广：\(det(A_n)=det(A_{n-1})-det(A_{n-2})\)，可以发现上述三对角行列式是以6为周期的。
应用
- 求逆矩阵
记得当年矩阵求逆教了一种伴随矩阵的方法：\(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}C^T\)，不知为何物？
只要证明\(AC^T=det(A)I\)即可： \[ \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & ... & a_{1n}\\ ... & & ...\\ a_{n1} & ... & a_{nn}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} C_{11} & ... & C_{n1}\\ ... & & ...\\ C_{1n} & ... & C_{nn}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} det(A) & ... &0\\ ... & & ...\\ 0 & ... & det(A)\\ \end{array}\right] \] 对于主对角线上的元素：\(a_{11}C_{11}+...+a_{1n}C_{1n}=det(A)\)；
对于其它元素：\(a_{11}C_{n1}+...+a_{1n}C_{nn}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & ... & a_{1n}\\ ... & & ...\\ a_{11} & ... & a_{1n}\\ \end{array}\right|=0\)。 - 求解\(Ax=b\)
求解：\(x=A^{-1}b=\frac{1}{det(A)}C^Tb\)，那么考虑\(x_1=\frac{1}{det(A)}(b_1c_{11}+..+b_nc_{n1})\)，\(b_1c_{11}+..+b_nc_{n1}\)其实是将矩阵\(A\)的第一列换为\(b\)，按照第一列展开求行列式的值即可，同理可以求得其它\(x_i\)，这种差到没人用的方法竟然被国内教材奉为圭臬。 - 求体积
\(det(A)\)的绝对值可以定义为一个平行六面体的体积，正负表示左手系还是右手系。
将三阶矩阵\(A\)的每行(列)当作平行六面体的一条边，如果\(A=I\)，我们得到一个标准的单位立方体；如果\(A=Q\)，我们得到一个旋转过的单位立方体，体积仍然为1，可以通过\(Q^TQ=I\)验证。
如果是二维情况，那么\(det(A)\)的绝对值就是平行四边形的面积： \[ S=\left|\begin{array}{cccc} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right|=ad-bc \] 那么三角形的面积就是\(\frac{1}{2}S\)，推广到向量的起始位置不在\((0,0)\)的情况： \[ S_{三角形}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\\ \end{array}\right| \] 可以通过平移到原点去证明。
作业
A Hadamard matrix H is a matrix with entries ±1 and orthogonal
columns. What is the determinant of H as a function of n? (Hadamard
matrices are conjectured to exist for every n that is a multiple of 4,
but nobody knows if there is such a matrix even for n=668).
由于\(H\)各列正交，故\(H^TH=cI\)；又\(H\)的元素只有±1，故\(c=n\)。所以\(det(H)^2=n^n,det(H) =
\pm\sqrt{n^n}\)，即\(n\)阶Hadamard矩阵的行列式既可以为正，也可以为负。
