前言
线性代数应该是大部分工科和商科同学的必修课，然而很不幸的是：国内的线代教学简直一团糟。如同国内大学的其他课一样，一上来就是一堆不知所云的概念、定义和性质，然后是没有什么道理的计算技巧训练，期末考完试一切结束。如果你有时间看看MIT的18.06，相信绝对会刷新你对这个学科的认知，Gilbert Strang完美遵循了现实生活中遇到了什么问题、为什么会有这些问题、该如何解决、更好的方法这一教学链条。循循善诱、环环相扣，你会觉得上课、学习数学是一种享受。
方式
这门课我强烈建议去看Gil老爷子的视频，2020年的Lecture真心觉得不太良心，看完视频可以做做20版的作业加深理解。
我会在Blog中专门记录这门课的笔记和理解，并且覆盖一些有趣的作业题。废话不多说，开始吧~
笔记
课程的引入是通过初中的二元一次方程组： \[
\begin{cases}
2x-y=0& \text{}\\
-x+2y=3& \text{}
\end{cases}\] 从几何上来看：就是二维平面上两条直线相交于\((1,2)\)。
从Row Picture来看：可以很直观地写作： \[
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
3
\end{bmatrix}
\]
这种思考方式也是国内灌输的，第一行乘以第一列得到0，第二行乘以第一列得到3，但其实更重要的是从向量(列)的线性组合角度去考虑：
\[
x\begin{bmatrix}
2 \\
-1
\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}
-1 \\
2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
3
\end{bmatrix}
\] 这样从几何上解释就是：有两个向量\(\begin{bmatrix}
2 \\
-1
\end{bmatrix}\)、\(\begin{bmatrix}
-1 \\
2
\end{bmatrix}\)，要找到某个组合\((x,y)\)可以得到向量\(\begin{bmatrix}
0 \\
3
\end{bmatrix}\)。
类似地，三元一次方程组也可以从列向量线性组合的角度考虑，几何上扩展到三维空间。
由此推广到更加一般的情形：\(Ax=b\)，自然而然地，我们想知道：是否对于任意的\(b\)，此方程都有解？或者换句话：对于三元一次方程组，列向量的线性组合是否能充满整个三维空间？
如果三个向量共面，那么最多只能生成一个平面，也就是不能保证可以生成任意的\(b\)(有解)。后面会知道，有解的条件就是\(A\)可逆。
这节课最重要的一点就是要用Column Picture去思考\(Ax=b\)，为了加深理解，再举例：
\[
\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix}=1*\begin{bmatrix}
2 \\
1
\end{bmatrix}+2*\begin{bmatrix}
5 \\
3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
12 \\
7
\end{bmatrix}
\]
作业
- Draw two non-colinear vectors v and w, and the region that consists
of all combinations cv+dw where 0 ≤ c ≤ 1 and 0 ≤ d ≤ 1. Now consider
the linear transformation of the unit square (all points (c,d) with 0 ≤
c ≤ 1 and 0 ≤ d ≤ 1) by the 2x2 matrix with first column v and second
column w. Are these two regions the same?
答：两个区域相同。 对\((c,d)\)做线性变换，也即 \[ \begin{bmatrix} v&w \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=cv+dw(矩阵乘以列向量，即矩阵各列的线性组合) \]
