递归
斐波那契数列定义： \[
F(n)=\left\{\begin{matrix}0, n=0\\
1, n=1\\
F(n-1)+F(n-2), n>1\end{matrix}\right.
\] 递归解法最直观，但是复杂度也最高：\(O(2^n)\) 1
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8int Fibonacci(int n)
{
if (n <= 0) //细节可以处理非法输入
return 0;
else if (1 == n)
return 1;
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
通项
求解通项的方法有好几种，下面展示一种用线性代数求解的方法：
斐波那契数列的递推公式是二阶差分方程，先用一点小技巧将其化为一阶： \[
\begin{cases}F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}\text{}\\F_{k+1}=F_{k+1}\text{}\\\end{cases}
\] 我们令\(u_k=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\\\end{bmatrix}\)，那么\(u_{k+1}=\begin{bmatrix}F_{k+2}\\F_{k+1}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\
1\\1\ 0\\\end{bmatrix}u_k\)。
矩阵\(A=\begin{bmatrix} 1\ 1\\1\
0\\\end{bmatrix}\)，令\(det(A-\lambda
I)=\lambda^2-\lambda-1=0\)，求得\(\lambda=\frac{1\pm
\sqrt5}{2}\)，对应于两个特征值的特征向量为\(x_1=\begin{bmatrix} \lambda_1\\ 1\\ \end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix} \lambda_2\\ 1\\ \end{bmatrix}\)。
求得特征值和特征向量后，我们将\(u_0=\begin{bmatrix} F_1\\ F_0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}=c_1x_1+c_2x_2\)，解得\(c_1=-\frac{1}{\sqrt5},
c_2=\frac{1}{\sqrt5}\)
故\(u_k=S\Lambda^{k}c=\begin{bmatrix}
c_1\lambda_1^{k+1}+c_2\lambda_2^{k+1}\\c_1\lambda_1^{k}+c_2\lambda_2^{k}\\\end{bmatrix}\)
所以通项公式可以表示为\(F(n)=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\)。
故斐波那契数列的通项公式为：\(F(n)=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]\)
用公式求解的复杂度为\(O(1)\)，但是由于无理数在计算机中的存储不是精确的，所以结果的精度很难保证。
分治
通过矩阵形式的递推： \[\begin{bmatrix}F(n)\\
F(n-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\ 1\\
1\ 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F(n-1)\\ F(n-2)\end{bmatrix}\]
不断向下递推，可以得到： \[\begin{bmatrix}F(n)\\
F(n-1)\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1\ 1\\
1\ 0\end{bmatrix}}^{n-1}\begin{bmatrix}F(1)\\
F(0)\end{bmatrix}\]
接下来就是求解矩阵的高次方，通过快速幂可以在\(O(logn)\)时间内进行计算：
整数的快速幂代码： 1
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20int qpow(int a, int n) {
int res = 1;
while (n) {
if (n & 1)
res *= a;
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
int qpow(int a, int n) {
if (n == 0)
return 1;
int half = qpow(a, n / 2);
if (n % 2)
return a * half * half;
else
return half * half;
}
将传入的参数改为矩阵，乘法改为矩阵乘法，就可以得到矩阵快速幂：
以二阶矩阵为例，求解斐波那契数列： 1
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using namespace std;
struct Matrix {
int a[2][2];
}base,ans;
Matrix multi(Matrix a, Matrix b)
{
Matrix res;
for (int i = 0; i < 2; i++) //第i行
{
for (int j = 0; j < 2; j++) //第j列
{
res.a[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 2; k++)
res.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
}
}
return res;
}
Matrix QuickPow(int n)
{
base.a[0][0] = base.a[0][1] = base.a[1][0] = 1;
base.a[1][1] = 0; //初始化矩阵
//结果矩阵初始化为单位阵
ans.a[0][0] = ans.a[1][1] = 1;
ans.a[1][0] = ans.a[0][1] = 0;
while (n)
{
if (n & 1)
{
ans = multi(ans, base);
}
base = multi(base, base);
n >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
QuickPow(n);
cout << ans.a[1][0] << endl;
return 0;
}
动态规划
1 | int Fibonacci(int n) { |
